Дано:
Углы треугольника: α, β и γ, где α + β + γ = 180°.
Найти:
Доказать неравенство: sinα + sinβ > sinγ.
Решение:
1. Напомним, что в любом треугольнике сумма углов равна 180°. Это означает, что γ = 180° - (α + β).
2. Используем тригонометрическую функцию синуса для угла γ:
sin(180° - (α + β)) = sin(α + β).
3. По свойствам синуса знаем, что sin(180° - x) = sin(x). Следовательно,
sinγ = sin(α + β).
4. Теперь применим неравенство для синуса:
sinα + sinβ > sin(α + β).
5. Пользуемся формулой для суммы синусов:
sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ.
6. Для доказательства неравенства sinα + sinβ > sin(α + β) достаточно показать, что
sinα + sinβ > sinα * cosβ + cosα * sinβ.
7. Переносим правую часть неравенства в левую:
sinα + sinβ - sinα * cosβ - cosα * sinβ > 0.
8. Упрощаем выражение:
sinα * (1 - cosβ) + sinβ * (1 - cosα) > 0.
9. Поскольку 1 - cosβ > 0 и 1 - cosα > 0 для всех углов в пределах от 0 до 90°, а также sinα > 0 и sinβ > 0 в этом диапазоне, то обе части произведения положительны.
10. Таким образом, сумма двух положительных слагаемых больше нуля:
sinα * (1 - cosβ) + sinβ * (1 - cosα) > 0.
Ответ:
Неравенство sinα + sinβ > sinγ верно для любого треугольника, где углы α, β и γ являются его внутренними углами.