Дано:
1. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.
2. Прямая проходит через вершину C и делит гипотенузу AB на отрезки AK и BK длинами c и d соответственно.
3. Катеты треугольника CB и CA равны a и b.
Найти:
Тангенс угла ACK.
Решение:
1. Гипотенуза AB имеет длину √(a^2 + b^2).
2. Сумма отрезков гипотенузы: c + d = √(a^2 + b^2).
3. Используем теорему Пифагора для треугольников CBK и CAK.
- Для треугольника CBK: BK = √(a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(θ)), где θ - угол между CB и CK.
- Для треугольника CAK: AK = √(b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(φ)), где φ - угол между CA и CK.
4. Углы θ и φ связаны с углом ACK, который мы ищем.
5. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол ACK = 90° - угол KAC.
6. Используем треугольник CAK для нахождения тангенса угла ACK:
- По определению тангенса: tan(ACK) = противолежащий катет / прилежащий катет.
- В треугольнике CAK: tan(ACK) = a / b.
Ответ:
tan(ACK) = a / b.