Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Окружность радиуса R проходит через вершины A, B и C.
- Окружность пересекает прямые AD и CD во вторых точках M и K.
- Острый угол параллелограмма равен α.
Найти:
- Длину отрезка MK.
Решение:
1. Параллелограмм ABCD можно разложить на два треугольника, ABC и ADC, которые лежат в одной окружности. Поэтому радиус окружности описанной вокруг треугольника ABC равен радиусу окружности описанной вокруг треугольника ADC.
2. Из формулы длины хорд в окружности, если известен радиус R и угол между концами хорды:
MK = 2 * R * sin(β / 2),
где β - угол, образованный хордой MK и центром окружности.
3. Угол β можно найти следующим образом. Поскольку отрезок MK пересекает прямые AD и CD и проходит через точки M и K, которые расположены на окружности, угол между прямыми AD и CD в точке пересечения окружности равен угол α параллелограмма.
4. Таким образом, угол β в окружности равен 180° - α.
5. Подставляем значение угла β в формулу длины хорды:
MK = 2 * R * sin((180° - α) / 2).
6. Поскольку sin(180° - α) = sin(α), то формула упрощается:
MK = 2 * R * sin(α).
Ответ:
MK = 2 * R * sin(α).