Дано:
- Трапеция ABCD с вписанной окружностью.
- Разность оснований трапеции равна расстоянию от центра окружности до точки пересечения диагоналей.
Найти: угол между диагоналями трапеции.
Решение:
1. Пусть трапеция ABCD имеет основания AB и CD, где AB > CD. Обозначим основания как AB = a и CD = b.
2. Обозначим расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей как h. Условие задачи гласит, что разность оснований равна этому расстоянию:
a - b = h.
3. В трапеции с вписанной окружностью диагонали пересекаются под углом, который можно найти, используя свойства вписанной окружности.
4. Для такой трапеции угол между диагоналями можно найти следующим образом:
В трапеции с вписанной окружностью диагонали пересекаются под углом, который можно вычислить по формуле:
угол между диагоналями = 90° - (угол между боковыми сторонами).
5. Если трапеция является равнобокой, угол между боковыми сторонами можно найти по формуле для равнобокой трапеции:
угол между боковыми сторонами равен (180° - угол между основаниями) / 2.
Поскольку разность оснований (a - b) равна расстоянию от центра окружности до точки пересечения диагоналей, и это значение по свойству трапеции с вписанной окружностью всегда равно высоте трапеции, то:
угол между диагоналями трапеции равен 90°.
Ответ: угол между диагоналями трапеции равен 90°.