Дано:
- Трапеция ABCD с основаниями BC и AD.
- Диагональ AC равна сумме оснований BC + AD.
- В трапецию вписана окружность.
Найти:
- Расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABC и ABD.
- Радиус окружности, описанной около трапеции.
Решение:
1. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма длин противоположных сторон равна. Это означает, что AB + CD = BC + AD.
2. По условию диагональ AC равна сумме оснований BC + AD. Поскольку AC = BC + AD и отрезок AC является диагональю, это означает, что в трапеции ABCD диагонали равны, и она является равнобокой.
3. В равнобокой трапеции с вписанной окружностью, радиус описанной окружности R равен радиусу окружности, вписанной в трапецию, и равен R = (AB * CD) / (AB + CD).
4. Для треугольников ABC и ABD в равнобокой трапеции можно использовать факт, что расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников равно радиусу описанной окружности. Это связано с тем, что расстояние между центрами вписанных окружностей равнобокой трапеции равно радиусу описанной окружности.
5. Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти по формуле:
R = (AB * CD) / (AB + CD),
где AB и CD - боковые стороны трапеции, и это совпадает с радиусом окружностей, вписанных в треугольники ABC и ABD.
6. Таким образом, расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABC и ABD, равно радиусу окружности, описанной около трапеции.
Ответ:
Расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABC и ABD, равно радиусу окружности, описанной около трапеции.