Дано:
- Окружность с центром O.
- Центр окружности лежит в середине отрезка AB.
Найти:
- Является ли сумма AM^2 + BM^2 постоянной для произвольной точки M на окружности.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O, который является серединой отрезка AB. Пусть радиус окружности равен R.
2. Выразим расстояния AM и BM через координаты. В системе координат, установим O в начале координат (0, 0), A в точке (-a, 0) и B в точке (a, 0), где a - половина длины отрезка AB. Точка M на окружности имеет координаты (R * cos(θ), R * sin(θ)), где θ - угол, образованный радиусом OM и положительным направлением оси x.
3. Найдём выражения для расстояний AM и BM:
Расстояние AM:
AM^2 = [R * cos(θ) + a]^2 + [R * sin(θ)]^2
= (R * cos(θ) + a)^2 + R^2 * sin^2(θ)
= R^2 * cos^2(θ) + 2 * a * R * cos(θ) + a^2 + R^2 * sin^2(θ)
= R^2 + 2 * a * R * cos(θ) + a^2
Расстояние BM:
BM^2 = [R * cos(θ) - a]^2 + [R * sin(θ)]^2
= (R * cos(θ) - a)^2 + R^2 * sin^2(θ)
= R^2 * cos^2(θ) - 2 * a * R * cos(θ) + a^2 + R^2 * sin^2(θ)
= R^2 - 2 * a * R * cos(θ) + a^2
4. Найдём сумму AM^2 + BM^2:
AM^2 + BM^2 = (R^2 + 2 * a * R * cos(θ) + a^2) + (R^2 - 2 * a * R * cos(θ) + a^2)
= 2 * R^2 + 2 * a^2
Как видно, сумма AM^2 + BM^2 не зависит от угла θ и является постоянной величиной.
Ответ:
Да, сумма AM^2 + BM^2 постоянна для произвольной точки M на окружности и равна 2 * R^2 + 2 * a^2.