дано:
- Радиус первой окружности r1 = 2.
- Радиус второй окружности r2 = 5.
найти:
Радиус третьей окружности r3, вписанной в тот же угол и проходящей через центр большей из них.
решение:
1. Окружности с радиусами r1 и r2 касаются друг друга. Так как они вписаны в угол, расстояние между центрами этих окружностей равно сумме их радиусов:
d = r1 + r2 = 2 + 5 = 7.
2. Пусть центр второй окружности (с радиусом 5) находится в точке O, а центр первой окружности (с радиусом 2) в точке A. Расстояние OA равно 7.
3. Третья окружность будет располагаться так, что её центр будет находиться на осевой линии угла, и она будет касаться обеих сторон угла, а также проходить через центр окружности с радиусом 5.
4. Обозначим радиус третьей окружности как r3. Поскольку она проходит через центр большой окружности, расстояние от центра третьей окружности до точки O (центра второй окружности), равняется r2 - r3.
5. Известно, что эта окружность также должна касаться меньшей окружности. Таким образом, расстояние от её центра до центра первой окружности равно r1 + r3:
r2 - r3 = r1 + r3.
6. Подставляем известные значения:
5 - r3 = 2 + r3.
7. Переносим r3 на одну сторону:
5 - 2 = 2r3,
3 = 2r3.
8. Разделим оба стороны уравнения на 2:
r3 = 3/2 = 1.5.
ответ:
Радиус третьей окружности равен 1.5.