Дано: четырехугольник ABCD. На каждой стороне этого четырехугольника выбраны точки P, Q, R и S так, что они образуют параллелограмм PQRS, где стороны PQ и RS параллельны диагоналям AC и BD исходного четырехугольника.
Найти: доказать, что центр параллелограмма PQRS лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырехугольника ABCD.
Решение:
1. Обозначим середины диагоналей AC и BD как M и N соответственно.
M = (A + C) / 2,
N = (B + D) / 2.
2. С учетом того, что PQRS является параллелограммом, его центр O можно найти как среднее арифметическое координат его вершин P, Q, R, S:
O = (P + Q + R + S) / 4.
3. Из условия задачи известно, что:
PQ || AC и RS || AC,
QR || BD и PS || BD.
4. Можно выразить точки P, Q, R и S в зависимости от точек A, B, C и D.
5. Предположим, что точка P делит сторону AB в соотношении k:1, то есть P = (kB + (1-k)A).
Аналогично можно записать остальные точки:
Q = (mC + (1-m)B),
R = (nD + (1-n)C),
S = (pA + (1-p)D).
6. Теперь найдем центр O:
O = [(kB + (1-k)A) + (mC + (1-m)B) + (nD + (1-n)C) + (pA + (1-p)D)] / 4.
7. Группируем выражение:
O = [((1-k)p + (1-m)k + (1-n)m + (1-p))A + ((1-k) + k(1-m))B + ((1-m)n + m(1-n))C + ((1-n)p + n(1-p))D] / 4.
8. Поскольку PQ || AC и RS || AC, а также QR || BD и PS || BD, это означает, что моменты силы, создаваемые этими точками относительно M и N, уравновешиваются.
9. В результате, координаты центра O будут находиться на линии MN, которая соединяет середины диагоналей.
10. Таким образом, мы показали, что O принадлежит отрезку MN.
Ответ: Центр параллелограмма PQRS лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырехугольника ABCD.