Дано: треугольник ABC. На стороне BC выбрана точка K так, что BK : CK = 1 : 2. Медиана CM пересекает отрезок AK в точке O. Прямая BO пересекает сторону AC в точке E.
Найти: отношение BO : OE.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Пусть BK = x, тогда CK = 2x.
- Следовательно, длина BC = BK + CK = x + 2x = 3x.
2. Установим координаты точек:
- Положим A(0, 0), B(3x, 0) и C(0, h) (где h - некая высота).
- Точка K будет иметь координаты K(3x/3, 0) = (x, 0).
3. Найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AB:
- Координаты M: M((0 + 3x)/2, (0 + h)/2) = (3x/2, h/2).
4. Найдем уравнение медианы CM:
- Угловой коэффициент линии CM:
k = (h - h/2) / (0 - 3x/2) = h/(3x/2) = 2h/(3x).
- Уравнение прямой CM:
y - h/2 = (2h/(3x))(x - 3x/2).
Упрощая, получаем:
y = (2h/(3x))(x - 3x/2) + h/2.
5. Теперь найдем уравнение отрезка AK:
- К координатам K(x, 0) добавим те же значения для A(0, 0).
- Угловой коэффициент линии AK:
k' = (0 - 0) / (x - 0) = 0.
Значит, линия AK находится на оси x.
6. Для нахождения точки O, где медиана CM пересекает AK, подставим y=0 в уравнение CM и решим его относительно x.
7. После нахождения координат точки O можно выразить расстояния BO и OE через координаты B, O и E.
8. Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках для пересекающихся секущих:
Отношение BO : OE можно найти через известные данные:
Рассмотрим, что O делит отрезок AK в некотором отношении, и сохраним пропорцию:
BO / OE = BK / CK.
9. Подставляя известные значения,
BO / OE = 1 / 2.
Ответ: BO : OE = 1 : 2.