Дано: правильный шестиугольник ABCDEF. Точки M и K — середины сторон CD и DE. Отрезки AM и BK пересекаются в точке O.
Найти: отношение BO : OK.
Решение:
1. Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, все его стороны равны, и углы между ними равны 120 градусов.
2. Точки M и K — середины сторон CD и DE, соответственно, поэтому отрезки AM и BK являются медианами в треугольниках ACD и BDE.
3. В правильном шестиугольнике медианы, проведенные из вершин, пересекаются в одной точке, и эта точка является центром симметрии для треугольников, образованных этими медианами.
4. Отрезки AM и BK пересекаются в точке O, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, поскольку эта точка является центром масс треугольника, образованного медианами.
5. Поскольку O — центр масс для медиан, то BO : OK = 2 : 1.
Ответ: BO : OK = 2 : 1.