Дано: параллелограмм ABCD, где окружность проходит через вершины A, B и C. Диагональ AC делится на отрезки AE = 3 и EC = 5.
Найти: длину второй диагонали BD.
Решение:
1. Обозначим длину диагонали BD как x.
2. Из свойства параллелограмма следует, что его диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Таким образом, точки пересечения диагоналей O являются центрами отрезков AO, OC, BO и OD.
3. Учитывая, что в треугольнике, вписанном в окружность, выполняется теорема о произведении отрезков, имеем:
AO * OC = BO * OD.
4. Поскольку AO = 3 и OC = 5, то:
3 * 5 = BO * OD.
5. Обозначим BO = y. Тогда OD будет равно y (так как диагонали BD и AC взаимно делятся пополам):
BO = OD = y.
6. Подставляем:
15 = y * y.
y^2 = 15.
y = sqrt(15).
7. Теперь можем найти длину диагонали BD:
BD = BO + OD = y + y = 2y = 2 * sqrt(15).
Ответ: длина второй диагонали равна 2 * sqrt(15).