Дано:
- Вектор a + b образует угол 30° с вектором a.
- Вектор a + b образует угол 60° с вектором b.
Найти:
- Отношение модулей векторов a и b.
Решение:
1. Обозначим модуль вектора a как |a| = A и модуль вектора b как |b| = B.
2. Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (a·b) / (|a| |b|).
3. Для вектора a + b угол между a + b и a:
cos(30°) = (a + b)·a / (|a + b| |a|).
Применяем скалярное произведение:
(a + b)·a = a·a + a·b
= |a|² + a·b
cos(30°) = (|a|² + a·b) / (|a + b| |a|)
cos(30°) = (A² + a·b) / (|a + b| A)
cos(30°) = √3 / 2
Отсюда:
(A² + a·b) = (√3 / 2) |a + b| A
4. Для вектора a + b угол между a + b и b:
cos(60°) = (a + b)·b / (|a + b| |b|).
Применяем скалярное произведение:
(a + b)·b = a·b + b·b
= a·b + |b|²
cos(60°) = (a·b + |b|²) / (|a + b| |b|)
cos(60°) = 1 / 2
Отсюда:
(a·b + B²) = (1 / 2) |a + b| B
5. Теперь у нас есть два уравнения:
(A² + a·b) = (√3 / 2) |a + b| A
(a·b + B²) = (1 / 2) |a + b| B
Выразим |a + b|² как:
|a + b|² = A² + B² + 2 a·b
6. Подставим это в наши уравнения:
|a + b|² = 4 A² / 3 (из первого уравнения) и
|a + b|² = 4 B² (из второго уравнения)
7. Приравняем обе выражения для |a + b|²:
4 A² / 3 = 4 B²
A² / 3 = B²
A² / B² = 3
Ответ:
Отношение модулей векторов a и b равно √3.