Дано:
- Длина стороны AB = 2
- Длина стороны BC = 3
- Длина стороны AC = 4
Найти:
- Скалярное произведение векторов AB и AC.
Решение:
1. Для удобства расположим точки треугольника ABC в координатной системе. Пусть:
- A(0; 0)
- B(2; 0) (так как AB = 2 по оси x)
2. Теперь найдем координаты точки C, используя пограничные условия. Поскольку AC = 4 и BC = 3, можно выразить координаты точки C через систему уравнений. Обозначим координаты C как (x; y).
Учитывая расстояния:
AB = 2:
(x - 2)^2 + y^2 = 3^2 (для BC)
x^2 + y^2 = 4^2 (для AC)
Получаем систему уравнений:
1) (x - 2)^2 + y^2 = 9
2) x^2 + y^2 = 16
Раскроем первое уравнение:
(x^2 - 4x + 4 + y^2 = 9) -> x^2 + y^2 - 4x + 4 = 9
-> x^2 + y^2 - 4x - 5 = 0
Подставляем значение из второго уравнения во второе:
16 - 4x - 5 = 0 -> 4x = 11 -> x = 11/4 = 2.75
Теперь подставим значение x обратно для нахождения y:
2.75^2 + y^2 = 16
7.5625 + y^2 = 16
y^2 = 8.4375
y = √(8.4375) ≈ 2.9047
Таким образом, C ≈ (2.75; 2.9047).
3. Теперь найдем векторы AB и AC:
Вектор AB = B - A = (2; 0) - (0; 0) = (2; 0)
Вектор AC = C - A = (2.75; 2.9047) - (0; 0) = (2.75; 2.9047)
4. Вычислим скалярное произведение векторов AB и AC:
AB • AC = (2; 0) • (2.75; 2.9047) = 2 * 2.75 + 0 * 2.9047 = 5.5
Ответ:
Скалярное произведение векторов AB и AC равно 5.5.