а) дано:
Прямые: l1: x + y - 2 = 0, l2: 2x - 2y + 10 = 0.
найти:
Уравнения биссектрис углов, образованных прямыми l1 и l2.
решение:
1. Приведем уравнения к общему виду:
- l1: y = -x + 2.
- l2: y = x + 5.
2. Найдем угловые коэффициенты:
k1 = -1, k2 = 1.
3. Найдем угол между прямыми:
tan(θ) = |(k2 - k1) / (1 + k1 * k2)| = |(1 - (-1)) / (1 + (-1) * 1)| = 2 / 0 (неопределённо).
Это означает, что прямые перпендикулярны.
4. Уравнения биссектрис:
Для перпендикулярных прямых: одна из биссектрис будет параллельна одной из прямых. Найдем уравнения биссектрис.
Биссектрисы будут иметь вид:
- y = -x + c1 (параллельная l1).
- y = x + c2 (параллельная l2).
Чтобы найти c1 и c2, подставим точку пересечения:
x + y - 2 = 0 и 2x - 2y + 10 = 0.
Решение системы:
1) x + y = 2,
2) 2x - 2y = -10.
Из 1) y = 2 - x. Подставим во 2):
2x - 2(2 - x) = -10,
2x - 4 + 2x = -10,
4x - 4 = -10,
4x = -6,
x = -1.5, y = 3.5.
Точка пересечения: (-1.5; 3.5).
5. Подставим в уравнения биссектрис:
- Первая биссектрисa через (-1.5; 3.5): y - 3.5 = -1(x + 1.5).
- Вторая биссектрисa: y - 3.5 = 1(x + 1.5).
ответ:
Уравнения биссектрис:
1) y = -x + 2,
2) y = x + 5.
б) дано:
Прямые: l1: 3x + 4y - 5 = 0, l2: y = 0.
найти:
Уравнения биссектрис углов, образованных прямыми l1 и l2.
решение:
1. Уравнение l1: y = (-3/4)x + 5/4.
Угловой коэффициент k1 = -3/4.
Угловой коэффициент k2 = 0 (для y = 0).
2. Найдем угол между прямыми:
tan(θ) = |(k2 - k1) / (1 + k1 * k2)| = |(0 - (-3/4)) / (1 + 0)| = 3/4.
3. Уравнения биссектрис:
Формула биссектрисы между двумя прямыми:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1).
4. Точка пересечения l1 и l2:
Подставим y = 0 в l1:
3x + 4(0) - 5 = 0 => x = 5/3.
Точка пересечения: (5/3; 0).
5. Уравнения биссектрис:
Угол между l1 и осью OX равен:
y = (3/4)x.
Подставим точку пересечения:
y - 0 = (3/4)(x - 5/3).
ответ:
Уравнения биссектрис:
1) y = (3/4)x + 5/4,
2) y = (3/4)x.