дано:
Острый угол α в радианах, где 0 < α < π/2.
найти:
Доказать двойное неравенство: sinα < α < tgα.
решение:
1. Рассмотрим функции sinα и tgα на интервале (0, π/2).
2. Доказательство неравенства sinα < α:
- Функция f(x) = sinx имеет производную f'(x) = cosx, которая положительна на (0, π/2).
- Следовательно, функция sinx возрастает на этом интервале.
- При x = 0, sin(0) = 0 и sin(α) < α, так как sinx < x для острых углов.
- Таким образом, sinα < α.
3. Доказательство неравенства α < tgα:
- Функция g(x) = tgx = sinx/cosx имеет производную g'(x) = sec²x, которая также положительна на (0, π/2).
- Функция tgx возрастает на этом интервале.
- При x = 0, tg(0) = 0.
- Для острых углов, tgα > α, так как tgx > x для острых углов.
- Таким образом, α < tgα.
4. Суммируя результаты, получаем двойное неравенство:
sinα < α < tgα.
ответ:
Доказано, что для острого угла α в радиан выполняется неравенство: sinα < α < tgα.