дано:
1. Окружность касается сторон угла в двух точках.
2. Разность длин дуг этой окружности с концами в этих точках равна радиусу окружности R.
найти:
Величину угла α.
решение:
1. Обозначим радиус окружности R и угол между касательными к окружности α.
2. Длины дуг, соответствующие концам касательных, обозначим как L1 и L2.
3. Разность длин дуг:
|L1 - L2| = R.
4. Длина дуги окружности, соответствующая углу α:
L = (α / 360°) * (2πR).
5. Для двух дуг, соответствующих углам (α/2) и (α/2):
L1 = (α/2) / 360 * (2πR) = (απR) / 360,
L2 = L1 (так как обе дуги равны).
6. Разность длин дуг:
L1 - L2 = (απR) / 360 - (απR) / 360 = 0,
но нам нужно учесть, что мы имеем дуги, соответствующие углам, образованным касательными.
7. Если обозначить угол между прямыми, касающимися окружности, как α, то разность между длинами дуг определяется как:
|L1 - L2| = R = (R * α) / 2.
8. Таким образом, у нас получается уравнение:
R = (R * α) / 2.
9. Упрощаем уравнение:
1 = α / 2 → α = 2.
ответ:
Величина угла α равна 2 радиана (или 120°).