дано:
1. Радиус кругов R = 1.
2. Центры кругов находятся в вершинах единичного квадрата: A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1).
найти:
Площадь пересечения этих кругов.
решение:
1. Круги имеют радиус 1 и расположены в вершинах квадрата. Расстояние между центрами соседних кругов равно 1.
2. Каждый круг будет пересекаться с двумя соседними кругами, создавая общую область пересечения.
3. Обозначим площади пересечения между двумя кругами. Площадь пересечения двух кругов радиуса R, центры которых находятся на расстоянии d, можно найти по формуле:
S = 2R² * arccos(d / (2R)) - (d / 2) * √(4R² - d²).
4. В данном случае, R = 1 и d = 1, подставим значения в формулу:
S = 2 * 1² * arccos(1 / (2 * 1)) - (1 / 2) * √(4 * 1² - 1²).
5. Упрощаем:
S = 2 * arccos(0.5) - (1 / 2) * √(3).
6. Угол arccos(0.5) равен 60° или π/3 радиан.
7. Таким образом:
S = 2 * (π/3) - (1 / 2) * √(3).
8. Площадь пересечения двух кругов:
S = (2π/3) - (√3/2).
9. Поскольку у нас четыре круга, и каждый круг пересекается с двумя другими, общая площадь пересечения будет в 4 раза меньше, так как пересечение происходит в центре квадрата.
10. В итоге, общая площадь пересечения четырех кругов будет равна S, так как они накладываются.
ответ:
Площадь пересечения четырех кругов равна (2π/3) - (√3/2).