дано:
1. Две различные точки A и B.
2. Центральная симметрия относительно точки A.
3. Центральная симметрия относительно точки B.
найти:
Докажите, что последовательное применение двух центральных симметрий является параллельным переносом.
решение:
1. Пусть точка P имеет координаты (x_P, y_P).
2. Применим первую центральную симметрию относительно точки A. Новая точка P' будет определяться как:
P' = (2x_A - x_P, 2y_A - y_P).
3. Теперь применим вторую центральную симметрию относительно точки B к точке P':
P'' = (2x_B - (2x_A - x_P), 2y_B - (2y_A - y_P)).
4. Упростим координаты P'':
P'' = (2x_B - 2x_A + x_P, 2y_B - 2y_A + y_P).
5. Это можно записать как:
P'' = (x_P + (2x_B - 2x_A), y_P + (2y_B - 2y_A)).
6. Обозначим вектор переноса как:
V = (2x_B - 2x_A, 2y_B - 2y_A).
7. Таким образом, точка P'' получается из точки P путем добавления вектора V:
P'' = P + V.
8. Следовательно, последовательное применение двух центральных симметрий можно представить как параллельный перенос на вектор V.
ответ:
Последовательное применение двух центральных симметрий относительно двух различных точек является параллельным переносом.