Дано:
1. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны 1 (AB = 1, BC = 1).
2. Угол ABC равен 20°.
3. K — произвольная точка на стороне AB.
4. E — произвольная точка на стороне BC.
Найти:
Наименьшее значение суммы AE + EK + KC.
Решение:
1. Обозначим координаты:
- Пусть A(0, 0), B(1, 0), C можно определить с использованием угла ABC. Координаты C будут:
- C = (1 - cos(20°), sin(20°)).
2. Расстояние AE можно выразить через координаты:
- Если K имеет координаты (x_K, 0) на AB, то
- E имеет координаты (1, y_E) на BC.
3. Сумма AE + EK + KC:
- AE = √((1 - x_K)² + y_E²),
- EK = √((x_K - 1)² + y_E²),
- KC = √((x_K - (1 - cos(20°)))² + (0 - sin(20°))²).
4. Чтобы минимизировать сумму, используем принцип отражения:
- Отразим точку C относительно прямой AB, получим C'.
- Теперь минимизируем расстояние AE + EK + KC' на прямой.
5. Используем свойства треугольников:
- Наименьшее значение достигается, когда точки K и E находятся на прямой между A и C'.
6. Найдем координаты C':
- C' = (1 - cos(20°), -sin(20°)).
7. Сумма AE + EK + KC может быть минимизирована, если K и E лежат на прямой AC'.
8. Используя координаты, можно вычислить минимальное значение:
- AE + EK + KC' = AC' = 2 * sin(10°).
9. Подставим значение:
- sin(10°) ≈ 0.1736, следовательно, 2 * sin(10°) ≈ 0.3472.
Ответ:
Наименьшее значение суммы AE + EK + KC равно примерно 0.3472.