Дано:
- Четырехугольник ABCD.
- Углы ∠BAC = ∠BDC.
- Углы ∠CAD = ∠ADB.
Найти:
- Докажите, что AB = CD.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. Поскольку ∠BAC = ∠BDC (по условию), это означает, что углы при вершинах B и D в этих треугольниках равны.
2. Также по условию, ∠CAD = ∠ADB. Эти углы равны, следовательно, углы при вершинах C и A в треугольниках CAD и ABD тоже равны.
3. Рассмотрим теперь треугольники ABD и CDB:
- ∠BAD = ∠BDC (из условия),
- ∠CAD = ∠ADB (из условия),
- ∠ADB = ∠BDC (как уже упомянуто),
- и углы ∠BAD и ∠BDC являются внешними углами для этих треугольников.
4. Из равенства углов в треугольниках ABD и CDB можно заключить, что треугольники ABD и CDB равны по углам (по критерию равенства по двум углам и одной стороне).
5. Следовательно, отрезки AB и CD являются сторонами равных треугольников. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. То есть AB = CD.
Ответ:
AB = CD.