Дано:
- Треугольник ABC, в котором биссектрису AD проведенную к стороне BC одновременно является высотой.
Найти:
- Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
Решение:
1. Поскольку AD является биссектрисой и высотой, это означает, что AD перпендикулярна BC и делит угол ∠BAC пополам.
2. Обозначим точки пересечения биссектрисы AD с основанием BC как D.
3. Поскольку AD перпендикулярна BC, то треугольники ABD и ACD будут прямоугольными, где ∠ADB = ∠ADC = 90°.
4. Также, так как AD является биссектрисой, то ∠BAD = ∠CAD.
5. Рассмотрим треугольники ABD и ACD:
- ∠BAD = ∠CAD (по определению биссектрисы)
- AD = AD (общая сторона)
- ∠ADB = ∠ADC = 90° (по определению высоты)
6. Так как треугольники ABD и ACD имеют равные углы и общую сторону AD, они равны по признаку прямого угла и двух углов.
7. Следовательно, BD = DC (по равенству треугольников) и AB = AC (так как соответствующие стороны равны).
Ответ:
Треугольник ABC является равнобедренным, так как биссектрису, одновременно являющуюся высотой, можно провести только в равнобедренном треугольнике.