Дано: Биссектриса треугольника является также его высотой.
Найти: Доказать, что треугольник равнобедренный.
Решение:
Пусть ABC - произвольный треугольник, биссектриса угла A и высота, проведенная из вершины A, пересекаются в точке H. Также пусть BH - высота треугольника ABC.
Так как BH - высота треугольника ABC, а AH - биссектриса угла A, то угол BHA = углу AHB (по условию).
Теперь рассмотрим треугольник ABH. В нем угол BHA = углу AHB, значит, он равнобедренный (сторона AB = стороне AH).
Аналогично, в треугольнике ACH угол CHA = углу CAH, поэтому этот треугольник тоже равнобедренный (сторона AC = стороне AH).
Из полученного следует, что стороны треугольника равны, то есть треугольник ABC равнобедренный.
Ответ: Доказано, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.