Дано:
- Четырехугольник ABCD.
- Стороны AB и CD равны (AB = CD).
- Диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O.
Найти:
- Доказать, что AO = DO.
Решение:
1. Поскольку диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O, то AO и CO равны, так как они являются частями диагонали AC. Также BO и DO равны, так как они являются частями диагонали BD.
2. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Мы знаем, что:
- AB = CD (по условию),
- AC = BD (по условию),
- AO = CO и BO = DO (так как диагонали пересекаются в точке O и равны).
3. Используем теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Треугольники AOD и BOC имеют:
- AO = CO (из равенства диагоналей),
- BO = DO (из равенства диагоналей),
- Углы ∠AOD и ∠BOC равны, так как диагонали пересекаются и угол между диагоналями в одной и той же точке равен.
4. Треугольники AOD и BOC равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, AO = DO.
5. Таким образом, мы доказали, что AO = DO.
Ответ:
AO = DO.