Дано:
- В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны: AB = CD.
- Существует точка O внутри четырехугольника такая, что AО = OD и BO = CO.
Найти:
- Доказать, что диагонали четырехугольника равны: AC = BD.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Мы имеем:
- AO = OD (по условию),
- BO = CO (по условию),
- AB = CD (по условию).
2. Поскольку AB = CD, AO = OD, и BO = CO, то треугольники AOB и COD равны по треем критериям:
- По двум сторонам и углу между ними (AO = OD и BO = CO).
3. В равных треугольниках равны все соответствующие элементы. Поэтому:
- Углы при основании этих треугольников равны: угол AOB = угол COD и угол OAB = угол OCD.
4. Используем теорему о равенстве треугольников: так как треугольники AOB и COD равны, то и диагонали AC и BD равны.
Ответ:
Диагонали четырехугольника равны: AC = BD.