Question

Стороны AB и CD четырёхугольника ABCD равны. Внутри него существует такая точка O, что AO = OD, BO = CO. Докажите, что диагонали четырехугольника равны

Answer 1

Дано:
- Четырехугольник ABCD, где AB = CD.
- Точка O внутри четырехугольника, такая что:
  - AO = OD.
  - BO = CO.

Найти:
- Доказать, что диагонали AC и BD равны.

Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
   - AO = OD = x.
   - BO = CO = y.

2. Рассмотрим треугольники AOB и COD:
   - В треугольнике AOB:
     - AO = x,
     - BO = y,
     - AB = AB.

   - В треугольнике COD:
     - CO = y,
     - OD = x,
     - CD = AB (по условию).

3. Углы ∠AOB и ∠COD являются вертикальными углами и равны.

4. Таким образом, треугольники AOB и COD имеют равные стороны и угол между ними:
   - AO = OD,
   - BO = CO,
   - ∠AOB = ∠COD.

5. По критерию равенства треугольников (SAS):
   ∆AOB ≅ ∆COD.

6. Из равенства треугольников следует, что:
   AB = CD и AC = BD.

7. Поскольку AB = CD (по условию), то:
   AC = BD.

Ответ:
Доказано, что диагонали AC и BD равны.