Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC = c и острым углом ∠CAB = α.
- Прямоугольный треугольник DEF с гипотенузой DF = c и острым углом ∠FED = α.
Найти:
- Доказать, что треугольники ABC и DEF равны.
Решение:
1. По условиям задачи, гипотенузы двух треугольников равны: AC = DF = c.
2. Острие углы одного треугольника равны острым углам другого треугольника: ∠CAB = ∠FED = α.
3. В прямоугольных треугольниках один угол прямой (по определению), следовательно, угол, который не прямой, равен 90° - α.
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому в треугольниках ABC и DEF углы следующие:
- ∠ABC = 90° - α.
- ∠DEF = 90° - α.
5. В треугольниках ABC и DEF углы равны:
- ∠CAB = ∠FED = α (по условию задачи).
- ∠ABC = ∠DEF = 90° - α (вычислено из суммы углов треугольника).
6. Поскольку в прямоугольных треугольниках все углы совпадают, треугольники ABC и DEF имеют одинаковую угловую структуру.
7. Треугольники ABC и DEF имеют равные гипотенузы и равные острые углы, следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и угол), треугольники равны.
Ответ:
Треугольники ABC и DEF равны.