дано: четыре произвольные точки A, B, C и D на плоскости.
найти: доказать, что AB + BC + CD > AD. В каком случае равенство?
решение: Рассмотрим произвольные точки A, B, C и D на плоскости. Мы будем использовать неравенство треугольника, которое гласит, что сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.
1. В треугольнике ABD:
AB + BD > AD
2. В треугольнике BCD:
BC + BD > CD
При сложении этих двух неравенств:
(AB + BD) + (BC + BD) > AD + CD
=> AB + BC + 2BD > AD + CD
Из этого следует, что:
AB + BC + CD > AD
Равенство выполняется, если и только если точки A, B, C и D лежат на одной прямой в этом порядке. В этом случае длина BD становится равной нулю, и неравенство превращается в равенство.
ответ: AB + BC + CD > AD для произвольных точек A, B, C и D, и равенство выполняется, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой.