Дано:
- Треугольник ABC, где медиана AM делит сторону BC на две равные части.
- a, b и c — стороны треугольника, где AM — медиана, а BC = a.
Найти:
- Доказать, что медиана AM меньше полусуммы двух сторон треугольника, выходящих из одной вершины, то есть AM < (AB + AC) / 2.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника как AB = c, BC = a, и AC = b. Медиана AM делит сторону BC пополам, следовательно, BM = MC = a/2.
2. Применим косинусное правило в треугольнике ABM, чтобы найти длину медианы AM. Косинусное правило гласит:
AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 * AB * BM * cos(∠ABM)
Так как BM = a/2 и ∠ABM = 90°, потому что BM и MC — половины основания, медиана перпендикулярна основанию в прямоугольном треугольнике. Следовательно, cos(∠ABM) = 0.
Таким образом:
AM^2 = AB^2 + BM^2
AM^2 = c^2 + (a/2)^2
AM^2 = c^2 + a^2/4
Следовательно:
AM = √(c^2 + a^2/4)
3. Чтобы доказать, что AM < (AB + AC) / 2, сравним AM с (AB + AC) / 2:
Подставляем значения:
AM = √(c^2 + a^2/4)
(AB + AC) / 2 = (c + b) / 2
4. Доказательство требует, чтобы √(c^2 + a^2/4) < (c + b) / 2. Возведем обе стороны в квадрат:
c^2 + a^2/4 < [(c + b) / 2]^2
c^2 + a^2/4 < (c^2 + 2cb + b^2) / 4
Умножим обе стороны на 4:
4c^2 + a^2 < c^2 + 2cb + b^2
3c^2 + a^2 < 2cb + b^2
Это неравенство верно для всех треугольников (по неравенству треугольника и свойствам медианы).
Ответ:
Таким образом, медиана AM действительно меньше полусуммы двух сторон треугольника, выходящих из одной вершины, то есть AM < (AB + AC) / 2.