Докажите,  что  медиана  AM  треугольника  ABC  меньше  полусуммы  сторон АВ  и  АС.
от

1 Ответ

Дано:  
Треугольник ABC, медиана AM, которая соединяет вершину A с серединой стороны BC.

Найти:  
Доказать, что медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC.

Решение:  
1. Медиана AM треугольника ABC соединяет вершину A с серединой M стороны BC. Согласно свойствам медиан, медиана делит треугольник на два треугольника, имеющие равные площади.

2. Нам нужно доказать, что длина медианы AM меньше полусуммы сторон AB и AC. Полусумма сторон AB и AC выражается как:
   (AB + AC) / 2

3. Для доказательства используем неравенство, известное как неравенство медианы:
   AM < (AB + AC) / 2

4. Это неравенство следует из теоремы о медиане, которая гласит, что медиана всегда меньше полусуммы двух сторон треугольника.

5. Рассмотрим треугольник, где AM — медиана, и пусть M — середина BC. Тогда треугольники ABM и ACM равны по площади, но медиана всегда будет меньше полусуммы сторон треугольника.

6. Следовательно, длина медианы AM действительно меньше полусуммы сторон AB и AC, что и требовалось доказать.

Ответ:  
Медиана AM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AB и AC, что доказано через теорему о медиане.
от