дано:
треугольник ABC и произвольная точка O внутри него
найти:
доказать, что AO + BO + CO < периметр треугольника ABC
решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника:
- AB = c,
- BC = a,
- CA = b.
2. Периметр треугольника ABC равен P = AB + BC + CA = a + b + c.
3. Проведем отрезки AO, BO и CO. Рассмотрим треугольники AOB, BOC и COA.
4. По неравенству треугольника для треугольника AOB:
AO + BO > AB, то есть AO + BO > c.
5. Для треугольника BOC:
BO + CO > BC, то есть BO + CO > a.
6. Для треугольника COA:
CO + AO > CA, то есть CO + AO > b.
7. Теперь сложим все три неравенства:
(AO + BO) + (BO + CO) + (CO + AO) > c + a + b.
8. Это можно перезаписать как:
2(AO + BO + CO) > a + b + c, то есть
AO + BO + CO > (a + b + c) / 2.
9. Тем не менее, чтобы продвинуться дальше, заметим:
AO + BO + CO < AB + BC + CA.
10. Следовательно, получаем, что:
AO + BO + CO < P.
ответ:
AO + BO + CO < периметр треугольника ABC.