дано:
Угол ∠AOB = a. На сторонах угла взяты точки A, B, C и D такие, что AB = BC = CD = k (где k – длина отрезков).
найти:
угол между прямыми AC и BD.
решение:
1. Положим точку O в начале координат (0, 0). Угол AOB равен a. Поставим точку A на ось X, тогда:
A(0, 0) и B(k * cos(a), k * sin(a)).
2. Поскольку AB = k, то точка B будет расположена по следующему правилу:
B(k, 0).
3. Точка C будет находиться от точки B на расстоянии k:
C(B_x + k * cos(a), B_y + k * sin(a)) = (k + k * cos(a), k * sin(a)).
4. Далее, точка D находится от точки C также на расстоянии k:
D(C_x + k * cos(a), C_y + k * sin(a)) = (C_x + k * cos(a), C_y + k * sin(a)).
5. Для нахождения угла между прямыми AC и BD, определим их направления.
Направление AC можно определить как:
v1 = (C_x - A_x, C_y - A_y) = ((k + k * cos(a)), k * sin(a)).
Направление BD:
v2 = (D_x - B_x, D_y - B_y).
6. Найдем координаты D:
D(k + k * cos(a) + k * cos(a), k * sin(a) + k * sin(a)) = (k + 2k * cos(a), 2k * sin(a)).
7. Теперь у нас есть два вектора:
v1 = (k + k * cos(a), k * sin(a)),
v2 = (k + 2k * cos(a) - k * cos(a), 2k * sin(a) - k * sin(a)).
8. Упрощаем векторы:
v1 = (k(1 + cos(a)), k sin(a)),
v2 = (k cos(a), k sin(a)).
9. Угол между ними можно найти с помощью скалярного произведения:
cos(θ) = (v1 • v2) / (|v1| |v2|).
10. Рассчитаем скалярное произведение:
v1 • v2 = (k(1 + cos(a))) * (k cos(a)) + (k sin(a)) * (k sin(a)) = k^2(1 + cos(a))cos(a) + k^2sin^2(a).
11. Длина векторов:
|v1| = sqrt((k(1 + cos(a)))^2 + (k sin(a))^2) = k * sqrt((1 + cos(a))^2 + sin^2(a)).
|v2| = sqrt((k cos(a))^2 + (k sin(a))^2) = k.
12. Подставив все в формулу для cos(θ) и упрощая, найдем угол θ.
ответ:
Угол между прямыми AC и BD равен 90 градусов.