Дано:
Окружность с центром O и радиусом R. Точка A вне окружности.
Найти:
а) Расположение точки B на окружности, чтобы отрезок AB был самым коротким.
б) Расположение точки B на окружности, чтобы отрезок AB был самым длинным.
Решение:
а) Чтобы найти точку B на окружности, для которой отрезок AB был бы самым коротким, нужно провести прямую, соединяющую точку A с центром окружности O. Затем определить точку B, которая лежит на окружности и лежит на продолжении линии AO. Это будет точка, которая делает отрезок AB перпендикулярным к радиусу, проведённому из центра окружности к точке B.
1. Рассмотрим прямую, проходящую через точки A и O. Эта прямая пересекает окружность в двух точках: B1 и B2.
2. Отрезок AB1 и отрезок AB2 будут равны между собой, и оба будут самыми короткими из всех возможных отрезков AВ, так как отрезок AB будет минимален, когда точка B находится на прямой, проходящей через O и A.
Вывод: точка B, где отрезок AB будет минимален, находится в точке пересечения прямой AO с окружностью.
б) Чтобы найти точку B на окружности, для которой отрезок AB был бы самым длинным, нужно найти точку на окружности, которая наиболее удалена от прямой AO.
1. Проведем отрезок, соединяющий точку A с точкой O, и найдем, где эта прямая пересекает окружность. Эти точки пересечения будут B1 и B2.
2. Из двух точек пересечения, точка, удалённая от прямой AO (которая проходит через центр окружности и точку A), будет находиться в точке, где отрезок AB максимально длинен.
3. Находим точки на окружности, которые лежат диаметрально противоположно точке B1 и B2. Эти точки будут максимальным расстоянием от точки A и точка B будет находиться на диаметре, противоположном линии AO.
Вывод: точка B, где отрезок AB будет максимален, находится в точке окружности, которая противоположна линии, проведённой через A и O, в наиболее удалённой точке окружности от линии AO.