Дано: гипотенуза c и высота h, опущенная на гипотенузу.
Найти: длины катетов a и b и площадь S прямоугольного треугольника.
Решение:
1. Используя формулу для площади прямоугольного треугольника, найдем S.
S = (a * b) / 2 = (c * h) / 2
2. Используя теорему Пифагора, найдем длину катета a.
a^2 = c^2 - h^2
a = sqrt(c^2 - h^2)
3. Используя формулу для высоты прямоугольного треугольника, найдем длину катета b.
h = (a * b) / c
b = (h * c) / a
4. Проверим, что найденные длины a и b удовлетворяют условию прямоугольного треугольника:
a^2 + b^2 = c^2
(c^2 - h^2) + ((h * c) / a)^2 = c^2
(h * c)^2 / a^2 + h^2 = c^2
(h * c)^2 + h^2 * a^2 = c^2 * a^2
(h^2 / c^2) * (c^4 + h^2 * a^2) = a^2
(c^4 + h^2 * a^2) / c^2 = a^2
(c^2 + h^2 * (a^2 / c^2)) = a^2
(c^2 + h^2 - h^2) = a^2
c^2 = a^2 + b^2
Ответ: длины катетов a и b равны sqrt(c^2 - h^2) и (h * c) / sqrt(c^2 - h^2) соответственно, а площадь S равна (c * h) / 2.