Дано:
Пусть O — центр окружности, а P — точка внутри окружности. Через точку P проведены две равные хорды AB и CD.
Найти:
Показать, что хорды AB и CD симметричны относительно одного из диаметров окружности.
Решение:
1. Обозначим радиусы окружности как R.
2. Поскольку хорды AB и CD равны, мы имеем:
|AB| = |CD|.
3. Проведем диаметр, проходящий через точку P и перпендикулярный к хордам AB и CD. Обозначим этот диаметр как DE.
4. Поскольку хорды равны и точка P находится внутри окружности, то расстояния от центра O до каждой из хорд будет одинаковым.
5. Рассмотрим треугольники OAP и OCP. В этих треугольниках:
- OA = OC (радиусы окружности)
- OP = OP (общая сторона)
- Углы OAP и OCP равны (так как они образованы одной и той же высотой, проведенной из O на хорды).
6. По критерию равенства треугольников (равны две стороны и угол между ними) треугольники OAP и OCP равны.
7. Следовательно, точки A и C симметричны относительно диаметра DE, а также точки B и D.
Ответ:
Хорды AB и CD симметричны относительно одного из диаметров окружности, так как треугольники OAP и OCP равны.