Дано:
Пусть четырехугольник ABCD, где угол BAD равен 90°. Обозначим следующие стороны:
- BC = a,
- CD = b,
- BD = c,
- AC = d.
Найти:
Показать, что BC + CD + BD > 2 * AC.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку угол BAD прямой, по неравенству треугольника для треугольника ABD имеем:
AB + BD > AD.
2. Также рассмотрим треугольник ACD. Здесь также по неравенству треугольника:
AC + CD > AD.
3. Объединим эти два неравенства:
AB + BD > AD и AC + CD > AD.
4. Из второго неравенства выразим AD:
AD < AC + CD.
5. Подставим это значение в первое неравенство:
AB + BD > AC + CD.
6. Таким образом, мы можем записать:
BC + CD + BD > AC + CD.
7. Упростим, убрав CD из обеих сторон:
BC + BD > AC.
8. Теперь добавим AC к обеим сторонам неравенства:
BC + CD + BD > 2 * AC.
Ответ:
BC + CD + BD > 2 * AC, так как неравенства для треугольников ABD и ACD подтверждают это утверждение.