Дано: Точки A и B и их симметричные образы A1 и B1 относительно точки O.
Найти: Показать, что расстояния A1B1 и AB равны.
Решение:
1. Определение центральной симметрии: Точка A1 симметрична точке A относительно точки O, если O является серединой отрезка AA1. Аналогично, точка B1 симметрична точке B относительно точки O, если O является серединой отрезка BB1.
2. Векторное представление симметрии:
- Вектор OA1 равен -OA (A1 = 2O - A).
- Вектор OB1 равен -OB (B1 = 2O - B).
3. Выразим расстояние A1B1:
Дистанция между точками A1 и B1 можно найти по формуле расстояния между двумя точками в координатной плоскости:
A1B1 = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) — координаты точек A1 и B1 соответственно.
4. Выразим координаты точек A1 и B1 через координаты A и B:
- A1 = 2O - A.
- B1 = 2O - B.
Если координаты A = (xA, yA) и B = (xB, yB), то координаты A1 = (2xO - xA, 2yO - yA) и B1 = (2xO - xB, 2yO - yB).
5. Рассчитаем A1B1:
A1B1 = sqrt(( (2xO - xA) - (2xO - xB) )^2 + ( (2yO - yA) - (2yO - yB) )^2)
= sqrt(( -xA + xB )^2 + ( -yA + yB )^2)
= sqrt(( xB - xA )^2 + ( yB - yA )^2)
= AB.
6. Это показывает, что расстояние A1B1 равно расстоянию AB.
Ответ: Центральная симметрия не меняет расстояний, то есть A1B1 = AB.