Дано: Параллелограмм ABCD. Точка M — середина стороны CD. Точка K делит сторону BC на отрезки длинами a и b, так что угол AMK = 90°. Найти длину отрезка AK.
Решение:
1. Обозначим длины сторон параллелограмма следующим образом:
- Стороны AB и CD равны, пусть AB = CD = x.
- Стороны BC и AD равны, пусть BC = AD = y.
2. Так как M — середина CD, длина отрезка CM = MD = x / 2.
3. Точка K делит BC на отрезки BK = a и KC = b, и следовательно BC = a + b.
4. Поскольку угол AMK = 90°, треугольник AMK прямоугольный. Мы будем использовать координатный метод для вычисления длины AK. Рассмотрим систему координат:
- Поместим точку C в начало координат, то есть C = (0, 0).
- Тогда B = (a, 0), M = (x / 2, y / 2).
5. К координатам точки K можно добавить, что:
- K = (a, y / 2) (так как K делит BC).
6. Вектор AM можно представить как разность координат точек A и M:
- Если точка A имеет координаты (0, y), то вектор AM = (x / 2, y / 2 - y).
7. Вектор MK можно выразить как разность координат M и K:
- Вектор MK = (a - x / 2, y / 2 - y / 2).
8. Для вычисления длины AK в треугольнике AMK, воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками (используя прямоугольный треугольник):
- Вектор AM = (x / 2, -y / 2).
- Вектор MK = (a - x / 2, -y / 2).
9. Поскольку угол AMK = 90°, то векторы AM и MK перпендикулярны. Мы можем найти длину AK, используя теорему Пифагора:
- Длину AM можно вычислить как корень из суммы квадратов его координат: AM = sqrt((x / 2)^2 + (-y / 2)^2) = sqrt(x^2 / 4 + y^2 / 4).
- Длину MK можно вычислить аналогично: MK = sqrt((a - x / 2)^2 + (-y / 2)^2).
10. Таким образом, для треугольника AMK с прямым углом, длина AK равна sqrt(AM^2 + MK^2).
11. Поскольку M делит CD пополам, длина AK будет равна корню из суммы квадратов половин длины параллелограмма.
Ответ: Длина отрезка AK = sqrt(a^2 + (y / 2)^2).