Дано:
- Квадрат ABCD.
- Середины сторон квадрата обозначены как M, N, O и P соответственно, где M - середина AB, N - середина BC, O - середина CD, P - середина DA.
- Отрезки соединяют вершины квадрата с серединами сторон.
Найти:
- Доказать, что фигура, образованная этими отрезками, является квадратом.
Решение:
1. Обозначим стороны квадрата как a. Тогда длина отрезков от вершин квадрата до середины сторон равна a/2, так как середина стороны делит её пополам.
2. Рассмотрим треугольник AMN. В этом треугольнике:
- AM = AN = a/2 (половина стороны квадрата),
- угол MAN = 90° (поскольку AM и AN перпендикулярны).
Таким образом, треугольник AMN является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой MN, равной корню из (a/2)^2 + (a/2)^2 = a/√2.
3. Поскольку все такие треугольники AMN, BNP, COP и DOA равны по описанным свойствам, все углы в точках пересечения отрезков образуют 90°.
4. Соединяя все точки пересечения отрезков, мы получаем квадрат, так как все стороны равны и все углы прямые.
Ответ:
Закрашенная фигура действительно является квадратом.