Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Е и К — середины сторон AD и DC соответственно.
- Из вершины В на прямую ЕК опущен перпендикуляр ВН.
- Точка F на стороне ВС такова, что углы FHK и KED равны.
Найти:
- Отношение BF : FC.
Решение:
1. В параллелограмме ABCD, стороны AD и DC параллельны и равны соответственно.
2. Поскольку Е и К — середины сторон AD и DC, прямые ЕК и AB параллельны (средняя линия в треугольнике).
3. Прямые ЕК и AB параллельны и равны, поэтому треугольники BEK и BAK подобны по углам (по углу В и углу KED).
4. Поскольку углы FHK и KED равны, треугольник FHK подобен треугольнику KED.
5. В треугольнике BEK, B и E, К и В — углы, поэтому BEK и BKED — подобные треугольники.
6. Поскольку BEK и BAK подобны, то по подобию треугольников, отношение соответствующих сторон одинаково. Треугольники BCF и BEC также подобны.
7. Отношение BF : FC можно найти используя свойства подобных треугольников. Поскольку углы FHK и KED равны, то треугольники FHK и KED также подобны. Это аналогично тому, что угол ECK равен углу FHK.
8. Таким образом, отношение BF : FC соответствует отношению BE : EK. Поскольку BE = EK (по свойствам средних линий), то BF : FC = 1 : 1.
Ответ:
BF : FC = 1 : 1.