Дано: четырехугольник ABCD, в котором средние линии AM и CN равны. Пусть M и N - середины отрезков AB и CD соответственно.
Найти: докажите, что диагонали AC и BD перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим средние линии:
Средняя линия AM = (1/2) * (AB + CD)
Средняя линия CN = (1/2) * (BC + AD)
Так как AM = CN, то имеем:
(1/2) * (AB + CD) = (1/2) * (BC + AD)
AB + CD = BC + AD
2. Поскольку средние линии равны, четырехугольник ABCD является трапецией, где AB и CD - основания. По определению, средние линии трапеции равны и параллельны.
3. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
- Средняя линия AM в треугольнике ABC равна (1/2) * BC и параллельна CD.
- Средняя линия CN в треугольнике CDA равна (1/2) * AB и параллельна AB.
Поскольку AM и CN параллельны, то AB и CD являются параллельными.
4. Для четырехугольника, у которого средние линии равны и параллельны, диагонали будут перпендикулярны. Это следует из теоремы о трапеции: если средние линии равны, то диагонали перпендикулярны.
5. Таким образом, диагонали AC и BD перпендикулярны.
Ответ: Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны.