Дано: Параллелограмм ABCD, где M и N — середины сторон AB и AD соответственно. Отрезки CM и CN перпендикулярны.
Найти: Отношение диагоналей параллелограмма.
Решение:
1. Положим векторные обозначения:
- Вектор AC = a
- Вектор BD = b
2. Массивные отрезки CM и CN:
- Вектор CM = (1/2)a - (1/2)b
- Вектор CN = (1/2)a + (1/2)b
3. Перпендикулярность векторов CM и CN означает, что их скалярное произведение равно нулю:
((1/2)a - (1/2)b) • ((1/2)a + (1/2)b) = 0
4. Раскроем скалярное произведение:
(1/4)a • a - (1/4)a • b - (1/4)b • a + (1/4)b • b = 0
(1/4)(a • a + b • b - 2a • b) = 0
a • a + b • b = 2a • b
5. Используем свойства диагоналей параллелограмма:
|AC|^2 + |BD|^2 = 2(a • a + b • b)
6. Подставим из уравнения:
|AC|^2 + |BD|^2 = 4a • b
|AC|^2 = |BD|^2
7. Таким образом, отношение диагоналей:
|AC| / |BD| = 1
Ответ: 1.