Дано: Ломаная, состоящая из четырех звеньев. Середины всех звеньев являются вершинами параллелограмма.
Найти: Докажите, что данная ломаная замкнута.
Решение:
1. Обозначим звенья ломаной как AB, BC, CD и DA. Пусть M1, M2, M3 и M4 — середины отрезков AB, BC, CD и DA соответственно.
2. Поскольку M1, M2, M3 и M4 являются вершинами параллелограмма, то:
- Векторы M1M2 и M3M4 параллельны и равны по длине.
- Векторы M2M3 и M4M1 параллельны и равны по длине.
3. Векторы, соединяющие середины противоположных сторон, равны и параллельны, что значит:
- Вектор M1M2 = V1 и V3M4 = V1
- Вектор M2M3 = V2 и V4M1 = V2
4. Сумма всех векторов ломаной равна нулю, если ломаная замкнута:
- AB + BC + CD + DA = 0
- Для середины отрезков это также должно быть верно:
- (M1M2 + M2M3 + M3M4 + M4M1) = 0
5. Поэтому, если середины отрезков образуют параллелограмм, то:
- M1M2 + M2M3 + M3M4 + M4M1 = 0
6. Следовательно, ломаная замкнута.
Ответ: Ломаная замкнута.