Дано:
Пусть ABC — произвольный треугольник, где проведены медианы AD, BE и CF. Обозначим их длины как m_a, m_b и m_c. Из медиан A, B и C составлен новый треугольник A'B'C'.
Найти:
Показать, что медиана, проведенная в треугольнике A'B'C', составляет 3/4 длины соответствующей стороны треугольника ABC.
Решение:
1. Длина медианы в треугольнике может быть найдена по формуле:
m_a = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²),
где a, b и c — длины сторон треугольника.
2. В новом треугольнике A'B'C', стороны A'B', B'C' и C'A' будут пропорциональны медианам треугольника ABC. По свойствам медиан, каждая из них будет равна 3/4 длины соответствующей стороны.
3. Рассмотрим произвольную медиану, например, m'_a, проведенную из вершины A' в сторону B'C'. Мы знаем, что:
m'_a = (1/2) * √(2b'² + 2c'² - a'²),
где b' и c' — длины сторон A'B' и A'C'.
4. Важно заметить, что длины сторон A'B' и A'C' равны 3/4 длины сторон AB и AC соответственно, а длина стороны B'C' равна 1/2 длины стороны BC.
5. Таким образом, можем записать:
m'_a = (1/2) * √(2 * (3/4b)² + 2 * (3/4c)² - (1/2a)²).
6. Упрощая это выражение, получаем:
m'_a = (3/4) * (1/2) * √(2b² + 2c² - a²) = (3/4) * m_a.
7. Это показывает, что медиана m'_a в новом треугольнике составляет 3/4 длины соответствующей стороны a в треугольнике ABC.
Ответ:
Медиана, проведенная в новом треугольнике, составляет 3/4 длины соответствующей стороны прежнего треугольника.