Дано:
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AC равна 1, угол A равен 15°. Обозначим угол B равным 90°, а угол C равным 75°.
Найти:
Найти высоту BH, опущенную из точки B на гипотенузу AC.
Решение:
1. В треугольнике ABC используем соотношения для нахождения катетов AB и BC.
Используем тригонометрические функции:
AB = AC * sin(A) = 1 * sin(15°),
BC = AC * cos(A) = 1 * cos(15°).
2. Найдем значения sin(15°) и cos(15°) с помощью формул:
sin(15°) = (√6 - √2) / 4,
cos(15°) = (√6 + √2) / 4.
3. Подставим значения:
AB = 1 * (√6 - √2) / 4,
BC = 1 * (√6 + √2) / 4.
4. Теперь найдем высоту BH. Высота в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:
BH = (AB * BC) / AC.
5. Подставим значения:
BH = [(√6 - √2) / 4] * [(√6 + √2) / 4] / 1.
6. Упростим:
BH = [(√6 - √2)(√6 + √2)] / 16.
7. Используем формулу разности квадратов:
(√6)² - (√2)² = 6 - 2 = 4.
Таким образом, получаем:
BH = 4 / 16 = 1/4.
Ответ:
Высота, опущенная на гипотенузу, равна 1/4.