Дано:
- Один из острых углов треугольника (угол A) = 30°,
- Длина гипотенузы (AB) = 8 м.
Найти:
- Отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла (отрезки AC и BC).
Решение:
1. Обозначим длины катетов:
- AC = a (катет против угла A),
- BC = b (катет против угла B).
2. В прямоугольном треугольнике ABC с углом A равным 30°, угол B будет равен 60°.
3. По свойствам прямоугольного треугольника, можем выразить катеты через гипотенузу:
a = AB * sin(30°) = 8 * (1/2) = 4 м,
b = AB * sin(60°) = 8 * (√3/2) = 4√3 м.
4. Теперь найдём длину высоты CH, проведенной из вершины C к гипотенузе AB. Высота в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:
CH = (a * b) / c, где c - гипотенуза.
5. Подставляем значения:
CH = (4 * 4√3) / 8 = 2√3 м.
6. Теперь, зная длину высоты, воспользуемся соотношениями для отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Обозначим:
- AH = x (отрезок от A до основания высоты),
- BH = y (отрезок от B до основания высоты).
7. Существует соотношение для остроугольного треугольника:
x * y = (CH)^2.
8. Подставляем значение высоты:
x * y = (2√3)^2 = 12.
9. Также, известно, что общая длина гипотенузы равна x + y = 8.
10. У нас есть две системы уравнений:
1) x * y = 12,
2) x + y = 8.
11. Из второго уравнения выражаем y:
y = 8 - x.
12. Подставляем y в первое уравнение:
x * (8 - x) = 12.
13. Раскрываем скобки:
8x - x^2 = 12,
x^2 - 8x + 12 = 0.
14. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16.
15. Находим корни:
x_1 = (8 + √16) / 2 = (8 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3,
x_2 = (8 - √16) / 2 = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2.
16. Таким образом, x = 3 и y = 5.
Ответ:
Гипотенуза делится на отрезки: AC = 3 м и BC = 5 м.