Дано:
Пусть в треугольнике ABC медиана AM выходит из вершины A и делит сторону BC на две равные части. Углы между медианой AM и сторонами AB и AC равны 30° и 90° соответственно.
Найти:
Найти отношение сторон AB и AC.
Решение:
1. Обозначим длины сторон AB и AC как c и b соответственно.
2. Используем соотношение для медианы. Длина медианы AM может быть найдена по формуле:
AM = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²),
где a — длина стороны BC. Поскольку AM образует угол 90° с AC, мы можем использовать тригонометрические функции.
3. На основании углов, имеем:
sin(30°) = AM / c,
cos(30°) = AM / b.
4. Зная, что sin(30°) = 1/2 и cos(30°) = √3/2, подставим:
AM = (1/2) * c (1)
AM = (√3/2) * b (2).
5. Приравняем (1) и (2):
(1/2) * c = (√3/2) * b.
6. Упростим уравнение:
c = √3 * b.
7. Следовательно, отношение сторон AB и AC будет:
c / b = √3 / 1.
Ответ:
Отношение сторон треугольника AB и AC равно √3 : 1.