Дано: квадрат ABCD со стороной a. Точка E — середина стороны ВС. Серединные перпендикуляры к отрезкам AE и EC пересекаются в точке O. Найти отношение BO:OD.
Решение:
1. Положим квадрат ABCD в координатной плоскости, где A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a). Точка E — середина BC, E(a,a/2).
2. Найдем уравнения середининых перпендикуляров. Для отрезка AE:
- Координаты A(0,0) и E(a,a/2).
- Средняя точка AE: M(a/2, a/4).
- Уравнение отрезка AE: y = (a/2a)x.
- Перпендикуляр к AE будет иметь угол наклона -2a/a и проходить через M(a/2, a/4).
3. Для отрезка EC:
- Координаты E(a,a/2) и C(a,a).
- Средняя точка EC: N(a, (a + a/2)/2) = (a, 3a/4).
- Уравнение отрезка EC: y = a - (a/2)a.
- Перпендикуляр к EC будет иметь угол наклона -a/2 и проходить через N(a, 3a/4).
4. Найдем пересечение перпендикуляров. Получаем, что O лежит на диагонали квадрата. Проверяем, что координаты O (a/2, a/2).
5. Расстояния BO и OD:
- BO = sqrt[(a-a/2)^2 + (0-a/2)^2] = sqrt[(a/2)^2 + (-a/2)^2] = sqrt(a^2/4 + a^2/4) = a/sqrt(2).
- OD = sqrt[(0-a/2)^2 + (a-a/2)^2] = sqrt[(-a/2)^2 + (a/2)^2] = sqrt(a^2/4 + a^2/4) = a/sqrt(2).
6. Отношение BO:OD = (a/sqrt(2)) / (a/sqrt(2)) = 1.
Ответ: BO:OD = 1.