Дано:
- Треугольник ABC равнобедренный, с AB = AC.
- Точка K на основании AC.
- Расстояния от точки K до точек касания окружностей с отрезком BK: AK = 2 и CK = 5.
Найти: расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BK.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольников:
- BK = x (неизвестное расстояние между точками касания окружностей).
- Площадь треугольника ABC обозначим через S.
2. В треугольниках ABK и CBK окружности касаются отрезка BK в точках, которые нужно найти.
3. Рассчитаем длины касательных от точек A и C до окружностей. Из свойств касательных к окружности:
- Точка касания окружности в треугольнике ABK от точки A равна длине касательной от A до точки касания окружности.
- Точка касания окружности в треугольнике CBK от точки C равна длине касательной от C до точки касания окружности.
4. Используем формулу для расстояния между точками касания окружностей:
- Разность касательных из одной точки к двум окружностям равна разности расстояний от точки касания до этой точки (с учетом направления).
5. Рассчитываем:
- Расстояние между точками касания = |AK - CK| = |2 - 5| = 3.
Ответ: расстояние между точками касания окружностей с отрезком BK равно 3.