Дано:
- Треугольник ABC, в котором одна из сторон равна c, а две другие стороны равны a и b.
- В угол при вершине A вписаны две окружности, касающиеся стороны BC в двух точках.
Найти: расстояние между точками касания этих окружностей.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника так, чтобы AB = c, AC = b, BC = a.
2. Пусть угол при вершине A равен α. Обозначим радиусы двух вписанных окружностей как r1 и r2. Эти окружности касаются стороны BC в точках P и Q соответственно.
3. Длину отрезка между точками касания двух окружностей можно найти как разность касательных отрезков, проведенных к этим окружностям из точки на стороне BC.
4. Из теоремы о касательных к окружности из одной точки известно, что разность касательных отрезков от одной и той же точки внешней окружности равна разности радиусов окружностей. В данном случае эта разность равна:
D = |r1 - r2|
5. Радиусы окружностей r1 и r2 можно выразить через стороны треугольника и угол α.
Радиус первой окружности (внутренней) r1 можно найти через полупериметр и стороны треугольника. Полупериметр треугольника равен:
s = (a + b + c) / 2
Радиус r1 внутренней окружности равен:
r1 = (a + b - c) / 2
6. Для второй окружности, касающейся того же угла, но находящейся внутри треугольника, радиус можно выразить аналогично, используя другой подход к касательным. В данном случае проще использовать результаты из свойства касательных окружностей:
Внутренние касательные окружности, которые касаются одной и той же стороны и одного угла, имеют радиус равный:
r2 = (a + b + c) / 2 - a - b
7. После упрощения:
r1 = (a + b - c) / 2
r2 = (a + b + c - 2a - 2b) / 2 = (c - a - b) / 2
Расстояние между точками касания окружностей:
D = |(a + b - c) / 2 - (c - a - b) / 2| = |a + b - c|
Так как у нас одна окружность внутреннее, а другая внешний радиус будет одинаковым.
Ответ:
Расстояние между точками касания двух окружностей равно |a + b - c|.