дано:
- окружность O1 с хордой AB, которая разбивает ее на две дуги: X и Y.
- другая окружность O2, которая касается хорды AB в точке C и одной из дуг (например, X) в точке D.
найти:
доказать, что прямая CD делит дугу X пополам.
решение:
1. Обозначим центр окружности O1 как O и радиус как R. Точки A и B - концы хорды. Точка C - точка касания с хордой, а D - точка касания с дугой X.
2. Проведем радиусы OAC и OBD. Поскольку OC и OD перпендикулярны к хорде в точке касания, углы OAC и OBD равны 90°.
3. Рассмотрим треугольник OAC и треугольник OBD. Эти два треугольника являются равнобедренными, так как OA = OB = R.
4. Углы OAC и OBD равны, так как они образованы одной и той же хордой AB. Обозначим угол OAC = угол OBD = alpha.
5. Дуги X и Y, на которые разбивается окружность O1, имеют равные центральные углы, так как радиусы OA и OB равны.
6. Прямая CD, проведенная через точки касания C и D, будет делить дугу X пополам, так как углы OAC и OBD равны, а значит, длины дуг, соответствующие этим углам, также равны.
ответ:
прямая CD делит дугу X пополам.